« Analysis of the Green Dam Censorware SystemNational Geographic Society 09/06 »

工程数学、工程力学漫谈

         引言
  工程数学对于有志于从事工程研究的优秀大学生是极其重要的基础。但是我们国家的工程数学教育目前来看,仍然很难让人满意。不仅教学内容相对落后,而且教学方式也比较落后,从而教学效果也比较差。程度较差的学生,很难从我们国内的教程中得到实打实的数学基础知识和观念。程度好的学生,也难免走弯路,浪费时间。作为中国学生,学习政治洗脑课程,英语课程已经浪费了不少时间,如果再走弯路,那么与国外的同龄人比较起来,就显得更加落后了。
  当然,本来轮不上本人来就这个话题说些什么,更别说批评现有的工程数学教材和教师了。但是我作为一个过来人,希望后来者少走弯路。作为一个工程数学的学习者,深感其极端重要性,后来者如果能够按照我提供的路径,应该可以在相对较短的时间内得到预期的效益。于是,笔者姑且不管是否得罪许多辛苦从事工程数学教学研究的老师们,而从利益后学者的角度,谈谈自己的一些观点和认识。

 

  科学的简单分类
  现在没有人会否认科学和工程的重要性。而成功的工程师,必须具备好的科学素养,这应该是真实不虚的。科学和工程技术的定义,我这里就不多谈了。仅仅给一个容易理解的分类。

科学:实体科学 数学 软科学

        实体科学,也就是所谓的physical sciences
  数学, mathematical sciences
  软科学,相对于实体科学而言的。
  在此仅仅做一个描述性的讨论。
  实体科学指的是研究实体的科学。比如,物理,化学,生物,材料,力学等等,
  数学,一般认为不是科学,因为数学本质上是个公理化的体系,跟现实世界不挂钩。
  软科学,如管理科学,心理学,运筹学,计算科学。
  工程,是科学原理在现实世界中的应用。不用列举了。
  如果按照Plato的观点,我们有现实的世界和理念世界之分。借助这两个世界的概念,我们是否可以认为,科学是理念世界的规则集合,工程则是科学观念在现实世界中的映射。如果借助中国古代体,用的范畴,是否可以把科学的研究对象命名为体,而工程则是科学的用?

 

        工程数学

  最重要的工程数学知识,多元微积分和线性代数。遗憾的是,这两门课,我们现状均不令人满意。总体的问题,没有强调直观的概念,重点没有抓到。
  比如说,就教学而言,一元微积分和多元微积分的分量就没有分配好。一元微积分只是一个基础,而真正有用的是多元微积分。而且这两者之间本质上是有较大差异的。一元微积分可以认为是处理标量的,而多元微积分其实就是矢量微积分。在实际应用中,一元的情形是比较少见的。

我们的高等数学教学,过多时间追求技巧,而忽略了真正的灵魂--概念、观念的教学。

  很多的时间是去让大家学习怎么做微分,积分,怎么证明命题。而真正重要的其实并不是这些。

         重要的是什么呢?是观念concept 而对观念的学习,是很难通过逻辑推演去掌握的。我们太重视逻辑推演了。其实观念的获得,基本跟逻辑推演关系不大。你把精力都放到演算题目上,就本末倒置了。
  微积分的重要概念是什么呢,一个是极限的观念,二个是局部线性化的观念。如果你学了微积分之后,只掌握(当然这个掌握分量很重)了这两个观念,那么我觉得你就是成功的,其他的所有东西都可以放下。

        据我本人的观察,美国著名的大学的数学教学中,很少有严格的证明。尤其对工程学生,基本不需要掌握严格的证明。但是对于有用的思想或者概念,他们不吝惜用很长的时间可和篇幅去说明。
  这里举几个例子,
  1 关于加速度的概念
  在我们的教材里,只会给一个数学式子,然后一切按照微积分的定理体系去推演。但是你可以去看看 故加州理工学院Feyman教授的物理学讲义(第一卷第9章),你就会发现,他的讲义里面基本很少演算,而更多的是概念的阐释和说明。
  2 线性代数,我们有些教科书上来就会讲行列式。他们会给一些很神奇的定义,而最后像变戏法一样,得到很多命题。典型的有两种,同济大学那本很薄的书会从逆序数入手,开始讲。另外一种是像清华大学居余马那样用归纳法。这种安排可以说都是失败的。

           对于行列式的计算,可能会给你出很多的习题,有种种的技巧,有些技巧,如果你没有见过,那么就很难想出来,于是乎老师看着底下同学们的迷惘的眼神,很有成就感。其实这是一个最大的问题。

一个成功的老师应该定义为能够把复杂的东西以本质上的简单的方式讲解出来的人。而绝不是变戏法的魔法师。

          为什么中国线性代数教科书把行列式放第一章,我觉得匪夷所思。大概是因为cramer法则吧。但是谁会用cramer法则去解方程组呢?cramer法则理论上是漂亮的,但实际上用途并不大。

线性代数的核心观点是什么呢?我觉得是四个字,线性组合。

如果你能够把这四个字在不同场合下弄明白了,那么我觉得你线性代数就是成功了。这样说来,线性代数最佳的入口是什么呢,应该是解方程组。
  而相对而言,高斯消去法也显得复杂了。高斯消去法的本质其实是矩阵的LU分解。这个思想其实并不初级。所以在简单讨论高斯消去法后,应该直接切入线性空间的理论。

线性空间及子空间的理论,应该占据线性代数的核心的地位。

而其现实的模型,至少应该包含线性方程组,多项式,Fourier级数,线性常微分方程等等。

 

         我推荐几本教材,以及如何读书
  1 微积分,我推荐华罗庚的 高等数学引论。这套书值得非常仔细的去研究。他的写法,即使从现在来看,也是最高明的。具体的原因以后可以谈。但是如果你想真正学好微积分,我建议仔细的把这套书吃透。如果你英文较好,可以另参考托马斯微积分。
  2 线性代数,最开始的学习,可以用G. Strang的Introduction to Linear Algebra.如果对理论问题比较感兴趣,可以进一步看Hoffman Kunz - Linear Algebra Prentice Hall 1971这本书也是台湾大学电机系的线性代数教科书。
  3 学物理是学数学最好的伴侣。比如学多元微积分,最好的办法就是同时学经典电磁学。所以如果你真的要学好数学,可以拿物理问题来做练习。比如说,你可以用Feyman的物理学讲义(三卷) 

         线性代数可以结合线性电路理论来学习。不过很可惜,国内的电路理论教材写的好的也不多。比如说邱关源那本电路,第15章,电路方程的矩阵形式,完全可以重写。对独立方程的看法完全可以从线性子空间的秩的角度去讲,这才是用计算机列方程组的本质方法。

我估计邱老先生自己也是从国外教材抄来的解法,只是授人以鱼而非授人以渔。

        这里顺便就谈到数学系的老师跟相关科系老师讲授内容之间如何协调和贯通的问题,我看目前割裂的情况很严重。

        我们数学教学内容的问题,往往有用的反倒不讲,没用的东西使劲的练习。什么叫做没用的东西。就是人生造出来的那些数学题目。

往往放着工程学生最需要的东西,比如数值积分的内容不讲,而使劲的讲那些自己生造出来的题目。

  一位老师说的好,你在现实世界中很难碰到积分表里面能够积出来的函数。这点就启发我们,根本没必要浪费太多的时间做大量积分演算的习题。因为我们过去老先生们大多是学数学出身,所以他们编工程数学教材,往往带着自己的一些喜好。但是现在我们时代进步了,应该针对工程学生的需要编更好的教材。说句不好听的话,樊映川那些人30,40年代从美国留学回来,写的教材居然到现在架构不变,还在教育一代代的工程师。他不懂数学是肯定的,但是他是否真正了解工程师需要什么数学呢?我看也值得怀疑。
  华罗庚的书为什么到现在还不过时呢,因为华本身数学就弄得比较明白了,而且也扎扎实实地搞过应用数学,他知道什么东西有用。

不夸张的说,在目前的世界上,能够超过华罗庚那套引论的微积分教材确实不多。

         谈谈矢量的问题
  如果你思考数学问题都是用矢量,而非标量,我也恭喜你。你懂得什么叫做“高等”数学了。我个人的观点,如果针对不同的问题,眼睛里面有不同的矢量出现。那么你对数学的认识已经不是初等的了。
  什么叫做矢量呢?满足向量八条规定的事物都可称为矢量。
  学习矢量最佳的入门空间是什么呢?空间解析几何。用矢量可以把欧氏几何完全重写。高等数学的一个重要方面就是,能否理解矢量几何,坐标几何。基本的矢量空间加上,内积,外积这两样东西,可以定义综合法欧氏几何里面的所有观念。
  如果还想进一步研究矢量,那么最好的一个学习场合是经典的力学,包括,牛顿力学,Lagrange力学,Hamilton力学。结合这三大力学,
  原始意义上的矢量,你就已经是完全通透了。

 

        我还要讲一个观点
  现在有些重点大学的工科专业办了一些所谓的数学提高班。他们的路径我看有些问题。并不是说你把数学分析的内容教给他们,就叫提高了。比如说,教基本分析,实分析,复分析,泛函分析。如果他们学的内容跟数学系差不多了,就叫提高?我看这也是一种误解。
  打个比方,会下棋,和懂棋是两码事情。你知道下棋的规则,可以叫做会下棋。你能领会棋里面的一些奥妙,那才是懂棋。并不是说这个人会下象棋,围棋,五子棋,跳棋或者更多的棋,就成了高级棋手。高级棋手可能只会一样,但是他真懂了。
  其实就拿同济大学那套高等数学来说,大多数人学会了,知道怎么照葫芦画瓢,但是真正学懂,可能还不是那么简单的事情。怎么才能懂呢,一个要靠后续课程,二个要靠不同场合的应用。比如,通过数值分析课程,可以深化对微积分基本观念的理解。另外,通过研究物理学和本专业的问题,也可以加深理解。这个过程可能长达1,20年,乃至终身。
  经典力学有什么东西呢?无非就是几条定律,但是用好了可以造人造飞船和飞机,汽车。其实这里面的名堂多的很。你再想想高等数学里面的定义,定理有多少,他们的妙用,是否更是多的多?  

        现在还有一个趋势,数学教学内容的离散化。我们过去的教学内容过于连续了。其实在实际中,连续的东西基本不存在。

离散的东西才是自然的本质。

  计算机的大量使用,更加使得离散的数学重要了。而线性代数就是离散数学的最基本内容。如何玩好矩阵,这是个大问题。

          我们现在回想一下,最初很多方法的发现,都不是按照公理化的思路展开的。比如,Gauss的最小二乘法,根本就是他在解决谷神星轨道演算过程中顺手发明的。当然最初的形式,或许在理论上并没有认识那么深透,如用子空间投影的观点。但是其精神实质,就是那些东西了。
  再比如,微分几何,这个Gauss也是在大地测量中做出很重要的贡献的。
  我们学习的时候,如果剥离这些历史背景,实际的背景,而一谓的用公理化的办法抽象,提高,这对学生公平吗?高斯可是天才,我们学生能跟他比?
  再比如,微积分的基本东西,牛顿已经都有了,但是你一味的要把后来柯西,维尔斯特拉斯,戴得金,皮亚诺这些人的东西灌输给大家,人家能否真正接受呢?牛顿可是天才,我们的学生能跟他比?
  所以微积分可以从阿基米德的积分讲起,到牛顿的师傅巴罗,然后到牛顿,莱布尼茨,然后再讲极限。这样才符合人的认识规律。

随机过程就是随机标量函数的矢量化,杜克大学有个人写了一本书,比陆大金那本好。

越早用matlab越好,学会用图像化的办法去看数学。

       后记

       我说的多了,就没有用。相信我的话的人去把上面的书找到,安心的去花时间研究过来,不要太过分看重你考试的分数,不要把自己局限在学校教学的要求范围内,那么在2年时间内,就可以打下一个相当可靠的基础。

         丘成桐先生在国内搞了个什么中学生竞赛,全是数学建模,他这个是作为一个反动,对奥赛的反动。美国数学教学,以前也不太重视应用,大学生数学竞赛有个Putnum数学竞赛,没有建模,后来觉得是个误导,又搞了建模。中国也有大学生建模,具体的水准我不太清楚,不过我觉得这才是值得真正推广的方向。

作者:形胜在吴头楚尾

-----------------------

“形胜”书看了不少,很多地方分析的一针见血,非常直接。虽然有些许不太尊重前人成果的味道,但是总体上还是话粗理不粗。 我数学老师的导师,现在只看周易不再搞“数学”了。

  • 1
  • quote 张珂 reply
  • 2010-7-5 13:01:39
  • 先生
    您好!
    您说的非常中肯,作为一名大学生我总以为学的知识毫无用处,现在才知道是不会用。但您讲的对我这样的初学者还是有点深度,我想从事工程力学方面的学习和研究,希望您能给与指点!请您把那几本书的名字发过来好吗?不胜感激!
    河南师范大学09级心理系 张珂

Leave a Reply

Personal

Hi all, I'm a Geotechnical Engineer (Class 1 RSE, Senior engineer of Civil 2007 before) that aims to develop economical solutions to technical problems. Also link between scientific discoveries and the commercial applications that meet societal and consumer needs.
Thanks for following Twitter Facebook Mybloglog

Feel free to Contact me E-Mail please.


Comments
Messages
Previous
Categories