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fractal and chaos

分形

有一段时间 google 的图标变成下面这个样子,很多人不明白,这是什么意思, 其实这是为了纪念  法国数学家Gston Julia是,他发现了在数论中有名的julia序列,就是在这个google LOGO上面看  到的数学公式.通过这个数学公式可以在解析几何上实现很多不规则边的图形.学名叫作分形.

分形 分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科. 分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提 出的.1967 年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》 的著名论文.海岸线作为曲线,其特征 是极不规则、极不光滑的, 呈现极其蜿蜒复杂的变化.我们不能从  形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同, 这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在 形貌上是自相似的, 也就是局部形态和整体形态的相似.事实上, 具有自相似性的形态广泛存在于自然界中,如: 连绵的山川、飘浮的云朵、 岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层…… 曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal).1975年,他创立了 分形几何学 (fractalgeometry).在此基础上,形成了研究分形性质及其应用的科学,称为分形理论(fractaltheory).

分形复杂系统是非线性地耦 合在一起的大量单元或子系统的集合.例如:人体,生物体, 人脑,地球环境,乃至社会和经济系统.对复杂系统的研究,也即探索 复杂性, 是当代科学研究最活跃的领域.复杂系统往往呈现出丰富多彩的性质,像非平衡性、 随机性、突变性、不可逆性、不稳定性、无序性、长程相关性、自组织性、 自相似性及普适性等等.在这类系统中,随机性与确定 性共存,多样性与普适性共存.如果说,为数众多的子系统从量的方面给 出了复杂性, 非线性性质则从质的方面引入复杂性.正因为如此,复杂事物一经  分解定会变得简单这样一种传统的科学信念受到了极大地冲击.因而, 复杂现象曾被视为传统科学中的"珍稀品"而束之高阁.随着耗散结构理论、突变论、 协同学、混沌理论、符号动力学及分形几何学等非线性理论的建立 和发展, 人类已经有能力定量化地描述复杂系统的特征.现今,原本在不同学  科中发展起来的非线性理论汇聚在一起,共同探索复杂系统的奥秘. 尽管还只是一个开端,但已使我们窥见了现实世界在纷繁错综的外表下  所蕴涵的简单与和谐,窥见了各种复杂现象间的共性.我们又一次为体验宇宙 的内在韵律而心醉神迷.

自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则.它表征分形在通常的几何变换下具有不变性, 即标度无关性.由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归.分形形体中的自相似性  可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似.标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限  精细的结构,如科契(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等.这种有规分形只是少数, 绝大部分分形是统计意义上的无规分形.

分维,作为分形的定量表征和基本参数,是分形理论的又一重要原则.分维,又称分形维或分数维, 通常用分数或带小数点的数表示.长期以来人们习惯于将点定义为零维,直线为一维,平面为二维, 空间为三维,爱因斯坦在相对论中引入时间维,就形成四维时空.对某一问题给予多方面的考虑, 可建立高维空间,但都是整数维.在数学上,把欧氏空间的几何对象连续地拉伸、压缩、扭曲,维数也不变, 这就是拓扑维数.然而,这种传统的维数观受到了挑战.曼德布罗特曾描述过一个绳球 的维数: 从很远的距离观察这个绳球,可看作一点(零维);从较近的距离观察,它充满了一个球形空间(三维); 再近一些,就看到了绳子(一维);再向微观深入,绳子又变成了三维的柱,三维的柱又可分解成 一维的纤维.那么,介于这些观察点之间的中间状态又如何呢?

显然,并没有绳球从三维对象变成一维对象的确切界限.数学家豪斯道夫(Hausdoff)在1919 年提出了连续空间的概念,也就是空间维数是可以连续变化的,它可以是整数也可以是分数,称为: 豪斯道夫维数.曼德布罗特也把分形定义为:豪斯道夫维数大于或等于拓扑维数的集合.

Julia 集合
在复平面上,水平的轴线代表实数,垂直的轴线代表虚数.每个Julia集合(有无限多个点)math-1都决定一个常数C,它是一个复数.现在您在复平面上任意取一个点, 其值是复数Z.将其代入下面方程中进行反复迭代运算:(如下图)

分形 分形 分形

Mandelbrot 集合
将Mandelbrot集合和Julia集合联系在一起,Julia集合有若干类型,都包含在Mandelbrot  集合之中.Julia集合中的C是一个常量,而Mandelbrot集合的C是由进入迭代前的Z值而定. 迭代结果,Z值同样有3种可能性,即:(如下图)
分形 分形 分形 Newton/Nova 分形
Newton奠定了经典力学、光学和微积分学的基础.他还建立了其他一些方法, 这些方法虽然比不上整个学科那么有名,但已被证明直到今天还是非常有价值的.例如, 牛顿建议用一个逼近方法求解一个方程的根.你猜测一个初始点,然后使用函数的一阶导数, 用切线逐渐逼近方程的根.如方程 Z^6 + 1 = 0有六个根,用牛顿的方法"猜测"复平面  上各点最后趋向方程的那一个根, 你就可以得到一个怪异的分形图形. 和平常的Julia分形一样, 你能永远放大下去,并有自相似性. 牛顿分形图形中的颜色显示每个答案的种类及性质,  即迭代到目的地花费的时间.(如下图)

分形

Paul Derbyshire研究牛顿分形图形时,他把Julia集合的常值C加入进去改变了一下算法,并用同样的  方法去估算Z,逼近答案,产生奇特的并称之为"Nova"的分形图形."Nova"类型分形图形(如下图)

分形

补充:
当今时代出现的充满科技含量的"分形艺术",不同于运用PhotoShop从事的计算机艺术创作.  "分形艺术"是纯数学产物,是否能算得上艺术必然会引起新的争论.争论最活跃的问题是:  分形图形是纯数学产物能算得上艺术吗?既然学习数学和程序设计就可以从事艺术创作了, 学习美术专业还有什么用处呢?这个问题提的好.从事分形艺术创作的人要研究产生这些图形的  数学算法,这些算法产生的图形是无限的.他们没有结束,你永远不能看见它的全部. 你不断放大她们的局部,也许你可能正在发现前人没曾见到过的图案.这些图案可能是非常精彩的. 她们与现实世界相符合,从浩瀚广阔的宇宙空间到极精致的细节是完全可以用数学结构来描述的.
分形具有五个基本特征或性质:1,形态的不规则性;2,结构的精细性;3,局部与整体的自相似性;4, 维数的非整数性;5,生成的迭代性.

Technorati : ,     Source: fractal.net.cn / Yeskey

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